Halaman
125LingkaranPernahkah kamu berekreasi ke Dunia Fantasi? Di tempat tersebut, kamu dapat menikmati berbagai macam permainan yang unik dan menarik. Mulai dari Halilintar, Ontang-Anting, Kora-Kora, sampai Arung Jeram. Salah satu permainan yang tidak boleh dilewatkan adalah Bianglala. Dalam permainan ini, kamu dapat melihat suatu tempat dari ketinggian tertentu. Jika diperhatikan secara saksama, bentuk dasar dari permainan ini adalah berupa lingkaran. Tahukah kamu, apa yang dimaksud dengan lingkaran?Setelah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat di Kelas VII, kamu akan mempelajari bangun datar yang lain, yaitu lingkaran. Pada bab ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran beserta unsur-unsurnya, perhitungan luas dan keliling lingkaran, sampai dengan pengukuran sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran.A. Lingkaran dan Unsur-UnsurnyaB. Keliling dan Luas LingkaranC. Busur, Juring, dan TemberengD. Sudut-Sudut pada Lingkaran6BabSumber:DokumentasiPenulis
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII126A. Lingkaran dan Unsur-Unsurnya1. Pengertian Lingkaran Coba kamu perhatikan Gambar 6.1secara seksama.Jam dinding, ban mobil, dan uang logam pada Gambar 6.1 merupakan contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar 6.2(a) .Perhatikan Gambar 6.2(b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Pada Gambar 6.2(b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran. 2. Unsur-Unsur Lingkaran Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, d an apotema. Untuk lebih jelasnya, p erhatikan uraian berikut. Gambar 6.1 : MemperlihatkanGambar 6.2 : Memperlihatkan(a) (b)(a) Jam dinding(b) Ban Mobil(c) Uang Logam(a) Bentuk geometri benda-benda pada Gambar 6.1(b) Lingkaran(a)(b)(c)1. Sebutkan lima macam benda yang berbentuk lingkaran.2. Hitunglah: a. 227c. 3,14 × 14 b. 227 × 14 3. Buatlah sudut yang memiliki ukuran:a. 30ºc. 90º b. 60º4. Hitunglah nilai x. a. x ̊45 ̊Uji Kompetensi Awal b. x ̊50 ̊ c. x ̊60 ̊5. Sederhanakanlah. a. 30360ºº c. 45360ºº b. 60360ººSebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.CBCOGambar 6.1 : Bentuk Lingkaran
Lingkaran127Gambar 6.3 : Lingkaran yang berpusat di titik O. a. Titik Pus at Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar 6.3 , titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.b. Jari-Jari (r)Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Pada Gambar 6.3 , jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, dan OC.c. Diameter (d)Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya, ditulis bahwa d = 2r.d. BusurDalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar 6.3 , garis lengkung AC (ditulis AC(), garis lengkung CB (ditulis CB), dan garis lengkung AB (ditulis AB) merupakan busur lingkaran O.e. Tali Busur Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AC yang tidak melalui titik pusat pada Gambar 6.3. f. Tembereng Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar 6.3 , tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AC dan tali busur AC.g. Juring Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar 6.3 , juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.h. ApotemaPada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar 6.3 secara seksama. Garis OE merupakan garis apotema pada lingkaran O.Agar kamu lebih memahami materi tentang pengertian dan unsur-unsur lingkaran, coba pelajari Contoh Soal 6.1 berikut ini.AEBCO((
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII128ContohSoal6.11. Perhatikan gambar lingkaran berikut. Dari gambar tersebut, tentukan: a. titik pusat, e. tali busur, b. jari-jari, f. tembereng, c. diameter, g. juring, d. busur, h. apotema. TUPVSRQ2. Perhatikan gambar lingkaran berikut. Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 cm dan panjang tali busurnya 16 cm, tentukan: a. diameter lingkaran, b. panjang garis apotema. QOPRJawab :1. a. Titik pusat = titik Ob. Jari-jari = garis PU, PQ, dan PRc. Diameter = garis RUd. Busur = garis lengkung QR, RS, ST, TU, dan UQe. Tali busur = garis STf. Tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur ST dan tali busur STg. Juring = QPU, QPR, dan RPUh. Apotema = garis PV2. a. Diameter = 2 × jari-jari = 2 × (10) = 20Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 20 cm.b. Perhatikan segitiga OQR. Panjang OQ = 10 cm dan QR = 8 cm. Menurut Teorema Pythagoras :OR2 = OQ2 – QR2 maka OR = OQ – RQ22 = (10)822-( ) = 1002264- = 36 cm2 = 6 cmJadi, panjang garis apotema lingkaran tersebut adalah 6 cm
Lingkaran129Uji Kompetensi 6.1Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Perhatikan gambar lingkaran berikut.EDAFBCDari gambar tersebut, tentukan: a. titik pusat, e. tali busur, b. jari-jari, f. tembereng, c. diameter, g. juring, d. busur, h. apotema. 2. Apa yang dimaksud dengan:a. busur, d. apotema, b. tali busur, e. juring. c. tembereng, 3. Gambarkan lingkaran-lingkaran yang memiliki panjang:a. jari-jari 3 cm,b. diameter 5 cm,c. jari-jari 4 cm dan tembereng dengan panjang tali busur 6 cm.4. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 cm memiliki panjang tali busur 8 cm. Tentukan panjang garis apotema pada lingkaran tersebut. 5. Perhatikan gambar lingkaran O berikut. CODABB. Keliling dan Luas Lingkaran 1. Keliling LingkaranCoba kamu amati Gambar 6.4 secara seksama. AAA'Gambar 6.4(a) menunjukkan sebuah lingkaran dengan titik A terletak di sebarang lengkungan lingkaran. Jika lingkaran tersebut dipotong di titik A, kemudian direbahkan, hasilnya adalah sebuah garis lurus AA' seperti pada gambar Gambar 6.4(b) . Panjang garis lurus tersebut merupakan keliling lingkaran. Jadi, keliling lingkaran adalah panjang lengkungan pembentuk lingkaran tersebut. Bagaimana menghitung keliling lingkaran? Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang terbuat dari kawat. Keliling tersebut dapat dihitung dengan mengukur panjang kawat yang membentuk lingkaran Jika panjang jari-jari lingkaran tersebut 13 cm dan panjang tali busur AB adalah 24 cm, tentukanlah panjang: a. diameter lingkaran, b. garis apotema OD,c. garis CDGambar 6.4 : memperlihatkan Garis lurus AA' sebagaidiameter lingkaran.(a)(b)Gambar 6.4 : Diameter Lingkaran
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII130tersebut. Selain dengan cara di atas, keliling sebuah lingkaran dapat juga ditentukan menggunakan rumus. Akan tetapi, rumus ini bergabung pada sebuah nilai, yaitu π (dibaca phi). Berapakah nilai π? Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.1. Siapkan bahan-bahan seperti kertas, jangka, benang kasur, dan penggaris. 2. Dengan menggunakan jangka, buatlah lima lingkaran dengan panjang diameter yang berbeda-beda.3. Kemudian, hitunglah keliling setiap lingkaran yang telah kamu buat. Caranya dengan mengimpitkan benang kasur pada setiap lingkaran tadi. 4. Ukurlah panjang benang kasur tadi.5. Catat hasilnya pada tabel berikut.NoPanjang DiameterKelilingKelilingDiameter1.........2.........3.........4.........5.........Dari tabel tersebut, apa yang kamu peroleh dari nilai perbandingan antara keliling dan diameter? Apa yang dapat kamu simpulkan?Kegiatan6.1Jika kamu melakukan Kegiatan 6.1 dengan teliti, kamu akan memperoleh nilai yang sama untuk perbandingan keliling dan diameter pada setiap lingkaran. Nilai tersebut adalah 3,141592.... Inilah yang dimaksud dengan nilai π (phi). Jika dibulatkan dengan pendekatan, diperoleh π = 3,14. Oleh karena 227 = 3,14 maka nilai π juga dapat dinyatakan dengan π = 227.Dari hasil kegiatan tersebut, diketahui bahwa π = Kd sehingga keliling lingkaran dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.K = π . dDengan K = keliling lingkaran,π = 3,14 atau 227,d = diameter lingkaran. Oleh karena panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jari makaK = π.d = π (2 . r) sehinggaK = 2 πrUntuk lebih jelasnya, coba kamu pelajari Contoh Soal 6.2 dan Contoh Soal 6.3 berikut. Bilangan π disebut bilangan transedental, yaitu bilangan yang tidak akan pernah bisa dituliskan nilainya secara pasti dan tidak bisa dicari lewat penyelesaian suatu persamaan matematis maupun teka-teki geometrisBilanganBilangaPlus +
Lingkaran1311. Sebuah lingkaran memiliki panjang diameter 35 cm. Tentukanlah:a. panjang jari-jari,b. keliling lingkaran.2. Panjang jari-jari sepeda adalah 50 cm. Tentukanlah: a. diameter ban sepeda tersebut, b. keliling ban sepeda tersebut. 3. Sebuah lapangan berbentuk lingkaran memiliki 88 m, tentukanlah:a. diameter lapangan tersebut, b. jari-jari lapangan tersebut.Jawab :1. Diketahui d = 35 cma. d = 2 . r maka 35 cm = 2.rr = 352r = 17,5Jadi, panjang jari-jarinya adalah 17,5 cm.b. K = π . dmakaK = 227× 35 cm= 22 × 5 cm = 110 cmJadi, panjang diameternya adalah 110 cm.2. Diketahui r = 50 cma. d = 2 . rmakad = 2·(50) = 100Jadi, panjang diameternya adalah 100 cm.b. K = π.dmakak = 3,14 × 100 cm = 314 cmJadi, panjang kelilingnya adalah 314 cm.3. Diketahui K = 88 cma. K = π.dmaka 88 cm = 227× dd = 227× 88 = 7 × 4 = 28Jadi, panjang diameternya adalah 28 cm.b. d = 2.rmaka 28 cm = 2 × rr = 28 cm2r = 14 cmJadi, panjang jari-jarinya adalah 14 cmb h likContohSoal6.21. Perhatikan gambar di samping. Sebuah persegi terletak tepat di dalam sebuah lingkaran. Jika persegi tersebut memiliki panjang sisi 14 cm, tentukanlah: a. diameter lingkaran, b. jari-jari lingkaran, c. keliling lingkaran. 2. Sebuah ban mobil memiliki panjang jari-jari 30 cm. Ketika mobil tersebut berjalan, ban mobil tersebut berputar sebanyak 100 kali. Tentukan:h tikContohSoal6.3ABOCDSeiring tumbuhnya sebuah pohon setiap tahunnya, batang pohon tersebut membesar dalam lingkaran-lingkaran yang memusat (konsentris). Lapisan-lapisan yang berurutan ini, yang dinamakan cincin-cincin pertumbuhan, berbeda-beda lebarnya tergantung pada keadaan cuaca selama tahun tertentu. Keliling batang itu rata-rata bertambah 2,5 cm setiap tahunnya. Dengan demikian, kamu dapat mengetahui usia suatu pohon tanpa perlu menebangnya dan tanpa perlu menggunakan π. Ukurlah keliling batang pohon tersebut dalam satuan sentimeter pada tempat yang tidak ada akar tumbuh?, kemudian bagi dengan 2,5. Beberapa pohon tidak mengikuti ketentuan ini, contohnya pohon palem.Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia.SekilasMatematika
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII132a. diameter ban mobil,b. keliling ban mobil,c. jarak yang ditempuh mobil.Jawab :1. Perhatikan segitiga ABC pada gambar. Panjang AC merupakan diagonal lingkaran, sedangkan panjang AO merupakan jari-jari lingkaran. a. Menurut teorema Pythagoras,AC2 = AB2 + BC2 maka AC2 = 142 + 142 = 196 + 196 = 2 × 196AC = 2 196× = 14 2cmJadi, diameter lingkaran tersebut adalah 14 2cm.b. Panjang jari-jari lingkaran adalah setengah panjang diameter lingkaran sehingga:AO = 12AC maka AO = 12×14 2 = 72Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 72cm.c. Untuk mencari keliling lingkaranK = π.d maka K = 227× 14 2cm = 22 × 22cm = 44 2cmJadi, keliling lingkaran tersebut adalah 44 2cm. 2. a. Panjang diameter lingkaran adalah dua kali panjang jari-jarinya sehingga:d = 2 × r maka d = 2 × (30 cm) = 60 cmJadi, panjang diameter ban mobil tersebut adalah 60 cm.b. Untuk mencari keliling lingkaran:K = π×d maka K = 3,14 × 60 cmK = 188,4 cmJadi, keliling ban mobil tersebut adalah 188,4 cm.c. Jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah Jarak = keliling × banyak putaran = 188,4 × 100 = 18.840Jadi, jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah 18.840 cm atau 188,4 m2. Luas Lingkaran Luas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Coba kamu perhatikan Gambar 6.5 . Daerah yang diarsir merupakan daerah lingkaran. Sekarang, bagaimana menghitung luas sebuah lingkaran?Luas lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus umum luas lingkaran. Perhatikan uraian berikut. Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang dibagi menjadi 16 buah juring yang sama bentuk dan ukurannya. Kemudian, salah satu juringnya dibagi dua lagi sama besar. Potongan-potongan tersebut disusun OGambar 6.5 : Lingkaran
Lingkaran133sedemikian sehingga membentuk persegipanjang. Coba kamu amati Gambar 6.6 berikut ini.ContohSoal6.41. Sebuah lingkaran memiliki diameter 14 cm. Tentukan:a. jari-jari lingkaran, b. luas lingkaran. 2. Jari-jari sebuah lingkaran adalah 28 cm. Tentukan:a. diameter lingkaran, b. luas lingkaran. 3. Luas sebuah lingkaran adalah 1.386 cm2. Tentukan:a. jari-jari lingkaran, b. diameter lingkaran. Jawab :1. Diketahui d = 14 cm.a. Panjang jari-jari lingkaran adalah setengah kali panjang diameternya. d = 2.r maka r = 12× d = 12× (14 cm) = 7 cmJadi, jari-jari lingkarn tersebut adalah 7 cm.(a)(b)Gambar 6.6 : Lingkaran dan JuringJika kamu amati dengan teliti, susunan potongan-potongan juring tersebut menyerupai persegipanjang dengan ukuran panjang mendekati setengah keliling lingkaran dan lebar r sehingga luas bangun tersebut adalahLuas persegipanjang = p × l = 12keliling lingkaran × r = 12× (2πr) × r = π× r2Jadi, luas daerah lingkaran tersebut dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Luas lingkaran = πr2Jadi, diperoleh luas persegipanjang tersebut : L = Panjang × Lebar = π × r × r = π × r2Dengan demikian, luas daerah lingkaran tersebut dapat dirumuskan:L = πr2 atau L = 14πd2Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan contoh-contoh soal berikut. abaPerhatikan gambar berikutJumlah lingkaran pada kotak tersebut adalah 45 buah. Dapatkah kamu memasukkan 1 buah lingkaran lagi?Bagaimana susunannyaProblematika
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII134b. Untuk mencari luas lingkaran: L = π.r2 maka: L = 227. (7)2 = 227.7 . = 22 . 1 . 7 = 1542Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 154 cm2.2. Diketahui r = 28 cm.a. Panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jarinya. Jadi, d = 2.r maka d = 2(28) = 56Jadi, panjang diameter kingkaran tersebut adalah 56 cm.b. Untuk mencari luas lingkaran:L = π.r2 maka L = 227× (28)2 = 227× 28 × 28 = 22 × 4 × 28 = 2.464 cm2.Jadi, luas lingkaran tersebut 2.464 cm2.3. Diketahui L = 1.386 cm2. a. L = π.r2 maka: 1.386 cm2 = 227× r2r2 = 722× 1.3862r2 = 7 × 632r2 = 4412r = 441r = 21Jadi, jari-jari lingkaran tersebut adalah 21 cm.b. Panjang diameter lingkaran adalah dua kali panjang jari-jarinya. Jadi,d = 2 .r maka d = 2 . (21 cm)= 42 cmContohSoal6.51. Perhatikan gambar. Sebuah lingkaran tepat berada di dalam persegi. Jika ukuran rusuk persegi tersebut adalah 14 cm, tentukanlah:a. luas persegi, b. luas lingkaran, c. luas daerah yang diarsir. ABCO14 c m D2. Perhatikan gambar berikut. Sebuah persegi terletak tepat berada di dalam lingkaran. Jika keliling persegi tersebut adalah 56 cm, tentukanlah: a. panjang sisi persegi, d. jari-jari lingkaran, b. luas persegi panjang, e. luas lingkaran,c. diameter lingkaran, f. luas daerah yang diarsir. ABCODPerhatikan gambar di bawah ini.ADBC14 cmLuas daerah yang diarsir adalah ....a. 249 cm2 c. 350 cm2b. 273 cm2d. 392 cm2Jawab:AIIIIIIDBC14 cmLuas daerah yang diarsir = Luas I + Luas II + Luas IIIDACB14 cmLuas I = Luas persegi ABCD = AB×CD= (14 × 14) cm = 196 cm2IIIIID/CA/BLuas II + Luas III = Luas lingkaran berdiameter 14 cm= πr2= 227(7 7) cm= 154 cm2Luas daerah yang diarsir = 196 cm2 + 154 cm2= 350 cm2Jawaban: cSoal UNAS, 2006SolusiMatematika
Lingkaran135Jawab :1. a. Luas persegi = sisi × sisi = 14 × 14 = 1962Jadi, luas persegi tersebut adalah 196 cm2.b. Luas lingkaran = π × r2 = 227 × (7)2 = 227 × 7 × 7 = 22 × 7 = 154Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 154 cm2.c. Luas daerah yang diarsir = Luas persegi – Luas lingkaran = 196 – 154= 42Jadi, luas daerah yang diarsiradalah 42 cm2.2. a. Untuk menentukan panjang sisi persegi, gunakan rumus keliling persegi sebagai berikut. Keliling = 4 × sisi maka 56 cm = 4 × sisisisi = 564sisi = 14Jadi, panjang sisi persegi tersebut adalah 14 cm.b. Luas persegi = sisi × sisi = 14 × 14 = 1962Jadi, luas persegi tersebut adalah 196 cm2.c. Diameter lingkaran adalah diagonal dari persegi ABCD. Perhatikan segitiga AB pada segitiga ABCD. Menurut teorema Pythagoras,BD2 = AB2 + AD2 maka BD2 = (14)2 + (14)2 = 1962 + 1962 = 2 × 1962BD = 2 196× = 14 2Jadi, diameter lingkarannya adalah 14 2cm.d. Panjang jari-jari lingkaran adalah setengah kali diagonalnya. Pada gambar terlihat bahwa panjang BO adalah setengah kali panjang BD. BO = 12BD maka BO = 12(14 2) = 72Jadi, diameter lingkarannya adalah 72e. L = π × r2 maka: L = 227 × (72)2L = 227 × (72) × (72)L = 22 × 2 × 72L = 22× 142L = 308Jadi, luas lingkarannya adalah 308 cm2.f. Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran – luas persegi= 308 – 196= 112Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 112 cm2
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII136Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui ukuran jari-jarinya adalah :a. 3 cm c. 5 cm e. 7 cmb. 4 cm d. 6 cm2. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui ukuran diameternya sebagai berikut. a. 10 cm c. 12 cm e. 14 cmb. 11 cm d. 13 cm3. Keliling sebuah taman berbentuk lingkaran adalah 220 m. Tentukan:a. jarak terjauh kedua ujung taman,b. jarak dari titik tengah taman ke ujung taman. 4. Hitunglah keliling dari setiap bangun datar berikut. a. 14 c m 16 c m b. 21 c m 5. Hitunglah keliling lingkaran kedua bangun berikut. a. ABC4 cmD3 cm b. ABCOD10 cm8 cmUji Kompetensi 6.2 6. Hitunglah luas lingkaran jika diketahui ukuran jari-jarinya adalah sebagai berikut. a. 5 cm c. 10 cm e. 20 cmb. 7 cm d. 14 cm 7. Hitunglah luas lingkaran jika diketahui ukuran diameternya adalah sebagai berikut. a. 10 cm c. 14 cm e. 18 cmb. 12 cm d. 16 cm 8. Luas suatu kebun yang berbentuk lingkaran adalah 2.464 m2. Hitunglah:a. jarak terjauh kedua ujung kebun tersebut,b. jarak dari titik kebun ke ujung lapangan, c. keliling lapangan tersebut. 9. Perhatikan gambar berikut. 10 m2 m2 mSebuah kolam yang berbentuk lingkaran memiliki diameter 10 m. Di tepi kolam terdapat jalan dengan lebar 2 m. Tentukan:a. luas kolam tersebut,b. luas jalan di tepi kolam tersebut.10. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini. a. 8 cm10 cm b. 14 cm21 cm
Lingkaran137C. Busur, Juring, dan Tembereng Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari pengertian busur, juring, dan tembereng. Sekarang, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng. Untuk itu, pelajari uraian berikut secara saksama. 1. Panjang Busur dan Luas Juring Lingkaran Perhatikan Gambar 6.7 di samping. Gambar tersebut menunjukkan sebuah lingkaran dengan titik pusat O. Ruas garis OA dan OB disebut sebagai jari-jari lingkaran O. Garis lengkung AB dinamakan busur AB dan daerah yang diarsir disebut sebagai juring AOB. Adapun sudut yang dibentuk oleh jari-jari OA dan OB, serta menghadap ke busur AB dinamakan sudut pusat lingkaran. Apakah ada hubungan antara busur AB, luas juring AOB, dan sudut pusat? Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut ini.BAOGambar 6.7 : Juring AOB1. Siapkan karton, jangka, dan spidol. 2. Buatlah sebuah lingkaran dengan jari-jari sebarang dan berpusat di titik O.3. Potonglah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring yang sama besar. Misalkan, lingkaran tersebut dibagi menjadi 8 juring yang sama besar seperti pada Gambar 6.8 . 4. Amati bagian-bagian dari potongan lingkaran tersebut, mulai dari sudut pusat, luas juring, sampai dengan panjang busurnya. 5. Kemudian, buatlah perbandingan sebagai berikut.sudut pusatsudut satu putaran=45360=...∞∞panjang busur keliling lingkaranAB= ...luas juring luas lingkaran =...AOB6. Buatlah lagi suatu lingkaran, kali ini dengan jari-jari sebarang. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 16 juring yang sama besar. Kemudian, ulangi langkah ke-4 dan ke-5.Apa yang dapat kamu simpulkan dari ketiga perbandingan tersebut?Kegiatan6.2Gambar 6.8 : Sudut PusatDAHG45 ̊BCOEFJika kamu melakukan kegiatan dengan benar, kamu akan memperoleh nilai perbandingan antara sudut pusat dengan sudut satu putaran, panjang busur dengan keliling lingkaran, serta luas juring dengan luas lingkaran adalah sama. Jadi, dapat dituliskan:sudut pusat sudut satu putaran =panjang bussurkeliling lingkaran=luas juringluas lingkkaranUntuk lebih jelasnya, coba kamu pelajari contoh-contoh soal berikut.
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII138ContohSoal6.61. Perhatikan lingkaran pada gambar di samping. Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 7 cm, tentukan:a. diameter lingkaran, b. keliling lingkaran ,c. panjang busur AB,d. luas lingkaran, e. luas juring AOB.Jawab :a. Panjang diameter lingkaran adalah dua kali panjang jari-jarinya. d = 2r maka d = 2 × (7)d = 14Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 14 cm.b. K = π × d maka K = 227 × 14= 22 × 2= 44Jadi, keliling lingkaran tersebut adalah 44 cm. c. panjang busur keliling lingkaran=sudut puABssat sudut satu putaranAOBpanjang busur =sudut pusat sudut satuABAOB putarankeliling lingkaran×Panjang busur AB =60 ̊360 ̊44×= 1644×= 7 13Jadi, panjang busur AB adalah 7 13 cm.d. L = π × r2 maka L = 227× (7)2 = 227× 49 = 22 × 7 = 154Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 154 cm2.e. luas juring luas lingkaran=sudut pusat AOBAOOBsudut satu putaranluas juring =sudut pusat sudut satu AOBAOBpputaranluas lingkaran×= 60 ̊360 ̊154×= 16154×= 2523Jadi, luas juring AOB adalah 2523 cm2B60 ̊AOGeorge Louis Lecreck, seorang naturalis dan matematikawan. Dia menunjukkan bahwa jika sebuah jarum dijatuhkan dari ketinggian yang acak ke atas sebuah kertas yang dipenuhi garis-garis sejajar dan panjang jarum sama dengan jarak antara garis-garis itu maka peluang jarum untuk jatuh menganai garis adalah 2π.Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia.SekilasMatematika
Lingkaran139ContohSoal6.7Perhatikan lingkaran pada gambar berikut. Jika luas juring AOB adalah 50 cm2, tentukan:a. luas juring BOC, b. luas lingkaran O.Jawab :a. luas juring luas juring =sudut pusat BOCAOBBBOCAOBsudut pusat luas juring =sudut pusat sudut pusatBOCBOCluas juring AOBAOB×= 60 ̊120 ̊50 =1250 ̊× ×= 25Jadi, luas juring BOC adalah 25 cm2.b. luas juring luas lingkaran=sudut pusat BOCBOOCsudut satu putaranluas lingkaran = sudut satu putaransudut pusat luas juriBOC×nng BOC = 360 ̊60 ̊ × 25= 6 × 25= 150Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 150 cm2.CB120 ̊60 ̊AO2. Luas Tembereng Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh busur dan tali busur lingkaran. Perhatikan Gambar 6.9 . Gambar tersebut menunjukkan lingkaran O dengan garis lurus AB sebagai tali busur dan garis lengkung AB sebagai busur lingkaran. Daerah yang diarsir antara tali busur AB dan busur AB disebut tembereng. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan luas tembereng. a. Tentukan luas juring AOB.b. Tentukan panjang tali busur.c. Tentukan panjang garis apotema OC.d. Hitung luas segitiga AOC.Luas segitiga = 12 × panjang tali busur AB × panjang apotema OC.e. Hitung luas tembereng.Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB,Untuk lebih jelasnya, coba kamu pelajari contoh-contoh soal berikut. BAOCGambar 6.9 : TemberengGambar berikut menunjukkan sebuah lingkaran berpusat di titik O.Jika panjang busur AB = 6,28 cm maka panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah ....a. 1,3 cmc. 4 cmb. 2,5 cm d. 5 cmJawab:Diketahui panjang busur AB= 6,28 cm dan –AOB = 72 ̊Panjang busur AB= besar360 ̊–AOB× kelilinglingkaran6,28 = 72 ̊363600 ̊ ̊× 2πr = 15 2 × 2 ,314 ×r6,28 × 5 = 6,28 ×r5 = rJadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 5 cm.Jawaban: dUAN SMP, 2004SolusiMatematikaOAB72 ̊
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII140ContohSoal6.8Perhatikan gambar di samping. Diketahui panjang jari-jari lingkaran O adalah 10 cm. Jika panjang tali busur PQ adalah 12 cm, tentukan:a. panjang garis apotema OR,b. luas segitiga POQ,c. luas juring POQ,d. luas tembereng (daerah yang diarsir). Jawab : a. Perhatikan segitiga ORQ. Menurut Teorema Pythagoras,OR2 = OQ2 – RQ2 maka OR2 = 102 – 62OR2 = 1002 – 362= 64OR = 64 OR = 8Jadi, panjang garis apotema OR adalah 8 cm.b. Untuk mencari luas segitiga POQ:Luas ∆ POQ = at¥2= PQOR2¥= 12 cm 8 cm2¥= 962= 48Jadi, luas segitiga POQ adalah 48 cm2.c. Sebelum menentukan luas juring POQ, kamu harus menghitung luas lingkaran O terlebih dahulu.Luas lingkaran = π × r2= 3,14 × 10 cm2= 3,14 × 100 = 314Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 314 cm2.Untuk menghitung luas juring:Luas juring luas lingkaran=sudut pusat POQPOOQsudut satu putaranluas juring POQ = sudut pusat sudut satu putaranluas lingPOQ¥kkaran= 80 ̊360 ̊314¥= 29314¥= 6979Jadi, luas juring POQ adalah 6979 cm2.d. Luas tembereng = luas juring POQ – luas segitiga POQ= 6979– 48 = 2179Jadi, luas tembereng (daerah yang diarsir) adalah 2179 cm2.PQ80 ̊OR
Lingkaran141Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Perhatikan gambar berikut. Tentukan:a. apotema,b. juring lingkaran, c. tembereng, d. busur. 2. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 14 cm. Jika panjang busur AOB adalah 22 cm, tentukan: a. diameter lingkaran, b. keliling lingkaran, c. sudut pusat AOB.3. Jari-jari sebuah lingkaran adalah 10 cm. Tentukan panjang busur lingkaran yang memiliki sudut pusat sebagai berikut.a. 30 ̊ d. 120 ̊b. 60 ̊ e. 180 ̊c. 90 ̊4. Perhatikan gambar berikut. ABC120 ̊90 ̊OJika jari-jari lingkaran tersebut adalah 7 cm, tentukan:a. keliling lingkaran, b. panjang busur AB,c. panjang busur BC,d. panjang busur AC.5. Diketahui keliling sebuah lingkaran adalah 100 cm. Tentukan besarnya sudut pusat yang dibentuk jika memiliki panjang busur sebagai berikut. a. 10 cm, d. 40 cm,b. 20 cm, e. 50 cm.c. 25 cm,6. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika panjang busur QR adalah 10 cm, tentukanlah:PQR45 ̊60 ̊OUji Kompetensi 6.3NLMKPOa. panjang busur PQ,b. keliling lingkaran, c. diameter lingkaran, d. jari-jari lingkaran. 7. Jari-jari suatu lingkaran adalah 20 cm. Tentukan luas juring lingkaran yang dibentuk oleh sudut pusat sebagai berikut. a. 30 ̊ d. 50 ̊b. 45 ̊ e. 120 ̊c. 60 ̊ 8. Diketahui luas sebuah lingkaran adalah 200 cm2. Tentukan besarnya sudut pusat yang dibentuk juring yang memiliki luas sebagai berikut. a. 10 cm2, d. 50 cm2,b. 20 cm2, e. 100 cm2.c. 40 cm2, 9. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut. 120 ̊CBAJika luas juring AOB adalah 50 cm, tentukan:a. luas juring BOC,b. luas juring AOC,c. luas lingkaran tersebut.10. Perhatikan gambar di bawah ini. CBDFEAGJika jari-jari lingkaran 10 cm, panjang tali busur AB adalah 15 cm, dan panjang tali busur CD adalah 16 cm, maka tentukanlah:a. panjang apotema E F,b. panjang apotema FG,c. luas juring FCD,d. luas segitiga FCD,e. luas tembereng CD.
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII142D. Sudut -Sudut pada Bidang Lingkaran Pada subbab ini, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua tali busur. Akan tetapi, sebelum mempelajari materi tersebut, kamu harus memahami apa yang dimaksud dengan sudut pusat dan sudut keliling. Pelajarilah uraian berikut secara saksama.1. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan sudut pusat? Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari dan menghadap suatu busur lingkaran. Sekarang, apa yang dimaksud dengan sudut keliling? Sudut keliling adalah sudut pada lingkaran yang dibentuk oleh dua buah tali busur. Coba kamu amati Gambar 6.10 berikut. Gambar 6.10 menunjukkan perbedaan antara sudut pusat dan sudut keliling. Perhatikan bahwa Gambar 6.10(a) menunjukkan sudut pusat AOB,sedangkan Gambar 6.10(b) menunjukkan sudut keliling EDF. Pada bagian ini, akan dibahas hubungan dan sifat-sifat sudut pusat dengan sudut keliling. a. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Amati Gambar 6.11 secara saksama. Titik E adalah titik pusat lingkaran, ∠AEC adalah sudut pusat lingkaran, ∠AEC adalah sudut pusat lingkaran, dan ∠ABC adalah sudut keliling lingkaran. Perhatikan bahwa ∠AEC dan ∠ABC menghadap busur yang sama, yaitu busur AC.• Perhatikan segitiga ABE.Oleh karena segitiga ABE merupakan segitiga samakaki maka ∠EAB = ∠ABE Jadi, ∠AEB = 180 ̊ – 2 × ∠ABE• Perhatikan segitiga CBE.Oleh karena segitiga CBE merupakan segitiga samakaki maka ∠EBC = ∠BCEJadi, dapat ditentukan bahwa ∠CEB = 180 ̊ – 2 × ∠CBE• Perhatikan sudut pusat AEC.∠AEC = 360 ̊ – (∠AEB + ∠CEB)= 360 ̊ – (180 ̊ – 2 × ∠ABE + 180 ̊ – 2 ∠CBE) = 360 ̊ – (360 ̊ – 2 × ∠ABE – 2 ∠CBE)= 360 ̊ – 360 ̊ + 2 × ∠ABE + 2 ∠CBE= 2 × ∠ABE + 2 × ∠CBE= 2 × (∠ABE + ∠CBE)= 2 × ∠ABCAOBFED(a)(b)DCEBAGambar 6.10 : Sudut Pusat dan Sudat KelilingGambar 6.11 : Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Lingkaran143Ternyata, uraian tersebut menunjukkan bahwa jika sudut pusat lingkarandan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat adalah dua kali dari besar sudut keliling. ContohSoal6.91. Perhatikan lingkaran pada gambar di samping. Dari gambar tersebut, tentukan: a. nilai x, b. nilai y, c. nilai z.2. Perhatikan lingkaran pada gambar di samping. Jika segitiga POQ merupakan segitiga samasisi, tentukan: a. ∠OPQ, b. ∠PQO, c. ∠POQ,d. ∠PRQ.Jawab : 1. Diketahui sudut pusat COD sebesar 80 ̊ yang menghadap busur CDa. x merupakan sudut keliling yang menghadap busur CD sehingga: x = 12 · ∠COD = 12· 80 ̊ = 40 ̊Jadi, nilai x = 40 ̊.b. y merupakan sudut keliling yang menghadap busur CD sehingga:y = 12 · ∠COD = 12.80 ̊ = 40 ̊Jadi, nilai y = 40 ̊. c. z merupakan sudut keliling yang menghadap busur CD sehingga:z = 12∠COD = 12. 80 ̊ = 40 ̊Jadi, nilai z = 40 ̊.2. Diketahui segitiga POQ merupakan segitiga samasisi sehingga setiap sudutnya berukuran 60 ̊. a. ∠OPQ = 60 ̊ b. ∠PQO = 60 ̊ c. ∠POQ = 60 ̊d. ∠PRQ merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat POQ. Jadi, besar ∠PRQ adalah ∠PRQ = 12 × ∠POQ= 12× 60 ̊= 30 ̊OQPR80 ̊zxEDCOBAy
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII144b. Sifat Sudut Pusat dan Sudut Keliling Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat yang dimiliki oleh sudut pusat dan sudut keliling. 1) Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran Coba kamu amati Gambar 6.12 . Pada gambar tersebut, lingkaran Omemiliki diameter PQ. Dapat dilihat bahwa ∠POQ merupakan sudut pusat, adapun ∠PRQ merupakan sudut keliling yang menghadap busur PQ. Ingat, jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, makasudut pusat = 2 × sudut keliling 180 ̊ = 2 × sudut keliling sudut keliling = 1802 ̊= 90 ̊Hal ini menunjukkan bahwa sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu membentuk sudut 90 ̊atau sudut siku-siku.2) Sudut keliling yang menghadap busur yang sama Coba kamu amati Gambar 6.13. Dari gambar tersebut, diperoleh: • ∠QOR merupakan sudut pusat lingkaran yang menghadap busur QR. • ∠QTR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur QR. Jadi, ∠QTR = 12∠QOR • ∠QPR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur QR. Jadi, ∠QPR = 12∠QOR • ∠QSR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur QR. Jadi, ∠QSR = 12∠QORDari uraian berikut, diperoleh bahwa:∠QTR = ∠QPR = ∠QSR = 12∠QORJadi, dapat disimpulkan bahwa semua sudut keliling yang menghadapbusur yang sama memiliki ukuran sudut/besar sudut yang sama. (3) Sudut-sudut keliling yang saling berhadapan Amati Gambar 6.14 . Perhatikan bahwa ∠POR merupakan sudut pusat lingkaran, sedangkan ∠PSR dan ∠PQR adalah sudut-sudut keliling yang sama besar. Oleh karena ∠PSR dan ∠PQR merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat ∠POR maka berlaku: • ∠PSR = 12 × ∠POR = 12 × y • ∠PQR = 12 × ∠POR = 12× xJika sudut keliling tersebut dijumlahkan, diperoleh∠PSR∠– PQR = 12×+ ×yx12= 12×+ × ºyy12360(–)ORQTSPOP180 ̊RQGambar 6.12 : Lingkaran dan sudut sikuGambar 6.13 : Sudut Keliling yang sama besarGambar 6.14 : Sudut Keliling yang berhadapanRQSxyOP⎨⎩⎧⎧⎩⎪⎧⎩⎪⎨⎩⎧⎧⎩⎪⎧⎩⎪⎧⎩⎪⎧⎩⎪
Lingkaran1452. Perhatikan lingkaran pada gambar di samping. Perhatikan bahwa –AOB merupakan sudut pusat lingkaran. Jika besar –AOB = 30 ̊, tentukan:a. besar –AEB,b. besar –ADB,c. besar –ACB.3. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut ini. Diketahui –DAB, –ABC, –BCD,dan –CDA adalah sudut keliling pada lingkaran. Jika –CDA adalah 100 ̊ dan –DABadalah 85 ̊, tentukan:a. besar – ABC,b. besar – BCD.Jawab : 1. a. –ACB merupakan sudut keliling yang menghadap diameter sehingga –ACB = 90 ̊b. Perhatikan segitiga ABC. Ingat bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180 ̊. –ACB + –CBA + BAC = 180 ̊ 90 ̊ + x + 2x = 180 ̊3x = 180 ̊ – 90 ̊3x = 90 ̊x = 30 ̊Jadi, nilai x = 30 ̊.= 1212¥ÊËÁˆ ̄ ̃+¥ ∞ÊËÁˆ ̄ ̃¥ÊËÁˆ ̄ ̃yy12360–= 12¥ÊËÁˆ ̄ ̃¥ÊËÁˆ ̄ ̃+∞yy–12180= 180 ̊Jadi, dapat disimpulkan bahwa jumlah sudut keliling yang saling ber-hadapan sama dengan 180°. ContohSoal6.101. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut. Lingkaran tersebut memiliki diameter AB dan sudut keliling ACB. Tentukan:a. besar –ACB,b. nilai x,c. besar –CAB,d. besar –ABC.AOCB2xxAOCDEBAO100 ̊85 ̊CDB
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII146Agar kamu lebih memahami sifat-sifat sudut pusat dan keliling, pelajarilah Contoh Soal 6.102. Sudut Antara Dua Tali Busur Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari sudut keliling yang merupakan sudut dari perpotongan dua tali busur yang tepat berada di lengkungan lingkaran. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 6.15 (a) . Bagaimana jika perpotongan tali busurnya tidak tepat berada di lengkungan lingkaran? c. ∠CAB = 2x= 2 (30 ̊)= 60 ̊Jadi, nilai ∠CAB adalah 60 ̊d. Oleh karena besar ∠ABC = nilai x maka∠ABC = x= 30 ̊2. a. Oleh karena ∠AEB merupakan sudut keliling lingkaran maka besar ∠AEBadalah∠AEC = 12 × ∠AOB= 12 · (30 ̊)= 15 ̊b. Oleh karena ∠ADB merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut keliling ∠AEB maka besar ∠ADB adalah∠ADB = ∠AEB= 15 ̊c. Oleh karena ∠ACB merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut keliling ∠AEB dan ∠ADB maka besar ∠ACB adalah∠ACB = ∠AEB = ∠ADB= 15 ̊ 3. a. Perhatikan bahwa –ABC merupakan sudut keliling yang berhadapan dengan sudut keliling –CDA. ∠ABC + –CDA = 180 ̊∠ABC + 100 ̊ = 180 ̊∠ABC = 180 ̊– 100 ̊∠ABC = 80 ̊Jadi, besar ∠ABC adalah 80 ̊. b. Perhatikan bahwa ∠BCD merupakan sudut keliling yang berhadapan dengan sudut keliling ∠DAB.∠BCD + –DAB = 180 ̊∠BCD + 85 ̊ = 180 ̊∠BCD = 180 ̊– 85 ̊∠BCD = 95 ̊Jadi, besar ∠BCD adalah 95 ̊ (a)(b)(c)OOOKeterangan Gambar 6.15(a) Dua tali busur yang berpotongan(b) di dalam lingkaran(c) di luar lingkaranGambar 6.15 : dua tali busur yang berpotongan
Lingkaran147Misalnya, di dalam lingkaran atau di luar lingkaran seperti ditunjukkan pada Gambar 6.15(b) dan Gambar 6.15(c) .Jika kedua tali busur saling berpotongan di dalam atau di luar lingkaran, bagaimana menghitung besar sudutnya? Coba kamu perhatikan dan pelajari uraian berikut. a. Saling Berpotongan di Dalam Lingkaran Coba kamu amati Gambar 6.16 . Pada gambar tersebut, lingkaran O memiliki jari-jari OP, OQ, OR, dan OS. Adapun SQ dan PR merupakan dua tali busur yang berpotongan di titik T. Dari gambar tersebut, diperoleh:• ∠PQS = 12 · ∠POS• ∠QSR = 12 · ∠QORMisalkan, kamu akan menghitung besar sudut PTS. Dengan menggunakan hubungan sudut dalam dan luar segitiga, diperoleh:∠PTS = ∠PQS + ∠QSR = 12–POS + 12∠QOR = 12 (∠POS + ∠QOR) Dari uraian tersebut, dapat dikatakan bahwa besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah setengah kali dari jumlah SROQTPContohSoal6.11Perhatikan lingkaran pada gambar di samping. Jika besar sudut pusat AOB adalah 80 ̊ dan sudut pusat DOC adalah 40 ̊, tentukanlah:a. besar ∠AEB,b. besar ∠DEC,c. besar ∠BEC,d. besar ∠AED.Jawab : a. ∠AEB = 12 · (∠AOB + ∠DOC) = 12 · (80 ̊ + 40 ̊) = 12 · (120 ̊)= 60 ̊ Jadi, besar ∠AEB adalah 60 ̊.b. ∠DEC = ∠AEB, saling bertolak belakang= 60 ̊Jadi, besar ∠OEB adalah 60 ̊.OADCBEGambar 6.16 : Tali busur PR dan QSberpotongan di dalam lingkaran Besar dua sudut yang saling bertolak belakang adalah sama. Perhatikan gambar berikut.Pada gambar tersebut, sudut-sudut yang saling bertolak belakang adalah ∠AOD dengan ∠BOC dan ∠AOC dengan ∠BOD dan∠BOD.ADCBBesar duBdPlus +sudut pusat yang beradadi depan dan di belakangnya.besar ∠AOD = besar ∠BOC dan besar∠AOC = besar
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII148sudut-sudut pusat yang berada di depan dan di belakangnya. Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan dan pelajari Contoh Soal 6.11b. Saling Berpotongan di Luar Lingkaran Coba kamu amati Gambar 6.17. Perhatikan bahwa ∠POT dan ∠SOQ merupakan sudut pusat lingkaran. TR dan PR merupakan dua tali busur lingkaran yang saling berpotongan di luar lingkaran pada titik R. Dari gambar tersebut, diperoleh:t∠TSP = 12 –TOPt∠SPQ = 12 –SOPDengan menggunakan hubungan sudut dalam dan sudut luar segitiga, diperoleh: ∠TRP = ∠TSP – ∠SPQ = 12 · ∠TOP – 12 · ∠SOP = 12 · (∠TOP – ∠SOP) Dari uraian tersebut, diperoleh hubungan bahwa besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran adalah setengah kali selisihsudut pusat yang terletak di antara kedua tali busur tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal 6.12c. ∠PQR = 12 · (360 ̊ – (∠AEB + ∠DEC)= 12· (360 ̊ – (60 ̊ + 60 ̊) = 12 · (360 ̊ – 120 ̊) = 12 · (240 ̊) = 120 ̊Jadi, besar –PQR adalah 120 ̊.d. ∠AED = ∠BEC, saling bertolak belakang= 120 ̊TSRQPOContohSoal6.12Perhatikan lingkaran pada gambar di samping. Jika besar sudut pusat AOE adalah 100 ̊ dan sudut pusat BOD adalah 30 ̊, tentukan besar sudut ACE. OBADCEGambar 6.17 : Berpotongan di luar lingkaran
Lingkaran149Jawab :Oleh karena tali busur AC dan CE berpotongan di luar lingkaran maka∠ACE = 12 · (∠AOE – ∠BOD) = 12· (100 ̊ – 30 ̊) = 12· 70 ̊= 35 ̊Jadi, besar ∠ACE adalah 35 ̊Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Tunjukkan dengan gambar apa yang dimaksud dengan:a. sudut pusat,b. sudut keliling. 2. Tuliskan rumus umum yang menunjukkan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling.3. Tunjukkan dengan gambar mengenai sifat-sifat sudut pusat dan sudut keliling.4. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut O50 ̊CBADari gambar tersebut, tentukan: a. nama sudut keliling, b. besar sudut keliling, c. nama sudut pusat, d. besar sudut keliling.5. O30 ̊CBxAPada gambar di atas, segitiga AOB adalah segitiga samakaki yang salah satu kaki sudutnya memiliki besar sudut 30 ̊. Tentukan:Uji Kompetensi 6.4 a. nilai x, b. besar ∠AOB,c. besar sudut keliling ACB.6. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut. Dari gambar tersebut, tentukan: a. besar ∠ABC, b. besar ∠ADC, c. besar ∠AEC.7. AOCDBEPerhatikan gambar di atas, jika besar ∠DCE = 70 ̊, tentukan: a. besar ∠DBE, b. besar ∠DAE, c. besar ∠DOE.8. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut. AOC92 ̊88 ̊DBJika besar ∠BCD = 88 ̊ dan besar ∠ABC = 92 ̊, tentukan:OCBE
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII150a. besar –CDA,b. besar –DAB.9. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut. Jika besar –BOC = 108 ̊ dan besar –AOD = 80 ̊ maka tentukan:a. besar –BEC,b. besar –AED,c. besar –AEB,d. besar –DEC.AEOCDB10. Perhatikan lingkaran pada gambar berikut. Jika diketahui besar sudut pusat AOD sama dengan 94 ̊ dan besar sudut pusat BOC sama dengan 40 ̊, tentukan besar sudut AED. AEOCDB1. Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.2. Jari-jari adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran.3. Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat.4. Busur adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik pada lingkaran tersebut.5. Tali busur adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran.6. Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur.7. Juring adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari tersebut.8. Apotema adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut.9. Keliling lingkaranK = d = 2rRangkuman10. Luas lingkaranL =r2 = 14d211. Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.sudut pusat360=panjang busurkeliling lingkoaaran=luas juringluas lingkaran12. Jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat adalah dua kali dari besar sudut keliling.13. Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sudut yang sama.14. Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan sama dengan 180°.15. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran adalah setengah kali dari jumlah sudut-sudut pusat yang berada di depan dan di belakangnya.16. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan diluar lingkaran adalah setengah kali dari selisih sudut pusat yang terletak di antara kedua kakinya
Lingkaran151Peta KonsepLingkaranSudutmempelajarirumusrumusSudut antara 2 Tali BusurSudut PusatBerpotongan di Dalam LingkaranBerpotongan di Luar LingkaranSudutKelilingUnsurTitik PusatJari-JariDiameterBusurTali BusurTemberengJuringApotemaLuasKelilingL = π·r2K = π·d = 2πrLuas dan KelilingRefleksit 1BEBCBC-JOHLBSBOJOJ
NFOVSVUNVCBHJBONBOBZBOHQBMJOHNFOBSJLVOUVLEJQFMBKBSJ t 4FUFMBI NFNQFMBKBSJ CBC JOJ
BQBLBI LBNV NFSBTB LFTVMJUBO NFNBIBNJ NBUFSJ UFSUFOUV .BUFSJapakah itu?t ,FTBOBQBLBIZBOHLBNVEBQBULBOTFUFMBINFNQFMBKBSJNBUFSJCBCJOJ
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII152BUji Kompetensi Bab 6A. Pilihlah satu jawaban yang benar.1. Perhatikan gambar berikut. AOECDBACDBOATali busur ditunjukkan oleh ....a. AOc. DCb. OEd. OC2. Perhatikan kembali gambar pada soal nomor 1. Ruas garis OE dinamakan ....a. tali busur c. apotema b. jari-jari d. busur3. Dari gambar pada soal nomor 1, daerah yang diarsir disebut ....a. juring c. busur b. tembereng d. tali busur 4. Diameter adalah ....a. tali busur yang melalui titik pusat b. jarak dari titik pusat ke lengkungan lingkaran c. garis lengkung dari satu titik ke titik lain pada lengkungan lingkaran d. garis tegak lurus dari tali busur ke titik pusat 5. Jari-jari sebuah lingkaran memiliki panjang 35 cm. Keliling lingkaran tersebut adalah ....a. 110 cm c. 330 cmb. 220 cm d. 440 cm6. Seutas kawat yang panjangnya 88 cm akan dibuat sebuah lingkaran. Jari-jari lingkaran kawat tersebut adalah ....a. 7 cm c. 21 cmb. 14 cm d. 28 cm 7. Dalam suatu perlombaan, seorang pembalap sepeda menempuh lintasan berbentuk lingkaran dengan jari-jari 500 m. Jika pembalap tersebut menempuh jarak 15.700 m maka jumlah putaran yang ditempuh pembalap tersebut adalah ....a. 3 c. 5b. 4 d. 6 8. Perhatikan gambar berikut. Jika keliling persegi56 cm maka keliling lingkaran adalah ....a. 22cm c. 14 2cmb. 72cm d. 44 2cm 9. Sebuah roda berputar sebanyak 50 kali. Jika roda tersebut memiliki diameter 10 cm maka jarak yang ditempuh roda tersebut adalah ....a. 157 cm c. 15.700 cmb. 1.570 cm d. 157.000 cm10. Luas sebuah lingkaran yang memiliki panjang diameter 20 cm adalah ....a. 31,4 cm c. 3.140 cmb. 314 cm d. 31.400 cm12. Sebuah lingkaran memiliki luas 6.776 cm2. Jari-jari lingkaran tersebut adalah ....a. 21 cm c. 35 cmb. 28 cm d. 49 cm13. Perhatikan gambar berikut.Jika panjang OA = 5 cm dan panjang AB = 3 cm maka luas daerah yang diarsir adalah ....a. 2.826 cm c. 12.246 cmb. 64.244 cm d. 36.412 cm
Lingkaran15314. Perhatikan gambar berikut. Luas daerah bidang datar tersebut adalah ....a. 70 cm2c. 38,5 cm2b. 54,5 cm2d. 108,5 cm215. Perhatikan gambar berikut. 7 c m 10 c m B60 ̊AOJika jari-jari lingkaran tersebut adalah 7 cm maka panjang busur AB adalah ....a. 7,4 cm c. 7,2 cmb. 7,3 cm d. 7,1 cm16. Perhatikan kembali gambar pada soal nomor 15. Luas juring AOB adalah ...a. 154 cm2c. 22 cm2b. 25,6 cm2d. 18,6 cm217. Perhatikan gambar berikut. CBOAJika jari-jari lingkaran tersebut sama dengan 10 cm dan panjang AB sama dengan 16 cm maka luas tembereng yang diarsir adalah ....a. 48 cm2c. 314 cm2b. 266 cm2d. 428 cm218. Perhatikan gambar berikut. EDCB100 ̊ABesar sudut ADC adalah ....a. 100 ̊ c. 50 ̊b. 80 ̊ d. 25 ̊19. Perhatikan gambar pada soal nomor 18, besar sudut ABC adalah ....a. 100 ̊ c. 130 ̊b. 120 ̊ d. 110 ̊20. Perhatikan gambar berikut. xEDCB120 ̊20 ̊A Nilai x sama dengan ....a. 100 ̊ c. 140 ̊b. 50 ̊ d. 70 ̊B. Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Perhatikan gambar berikut. 14 c m Dari gambar tersebut, tentukan:a. keliling bangun tersebut, b. luas daerah yang diarsir.2. Perhatikan gambar berikut. Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 cm maka tentukan:a. panjang busur AB,b. luas juring AOB.3. Perhatikan gambar berikut. Diketahui jari-jari lingkaran tersebut sama dengan 16 cm dan panjang AB sama dengan 28 cm. OBA120 ̊CBOA
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas VIII154Tentukan:a. diameter lingkaran, b. panjang garis apotema OC,c. luas juring AOB,d. luas segitiga AOB,e. luas tembereng yang diarsir. 4. Perhatikan gambar berikut.DCBOADari gambar tersebut, tentukan:a. besar –AOB,b. besar –ADB,c. besar –ACB.5. Perhatikan gambar berikut. DCBOAJika besar –BOC = 122 ̊ dan –AOD = 32 ̊, tentukan:a. besar –AED,b. besar –BEC,c. besar –DEC,d. besar –AEB.